Suite croissante qui tend vers l'infini

Soit  \((m_n)\) la suite définie par \(m_0=4\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , par \(m_{n+1}=2m_n+3\) . On admettra que cette suite est croissante et que \((m_n)\) tend vers \(+\infty\) .
Cela signifie que, pour tout réel \(S\) , il existe un rang  \(N\) à partir duquel, pour tout \(n \geqslant N\) , on a \(u_n \geqslant S\) .
La question est, étant donné un seuil \(S\) , quel est ce rang  \(N\) ?

Lorsque l'on souhaite répéter un nombre de fois indéterminé une action, on utilisera une boucle non bornée (ou boucle while). Cette boucle se répétera tant que la condition souhaitée n'est pas réalisée.

Dans notre cas, nous souhaitons déterminer à partir de quel rang les termes de la suite sont supérieurs où égaux à \(S\) . Nous allons donc calculer les termes de la suite et continuer tant que les termes sont inférieurs à \(S\) .
Soit un réel \(S\) . La fonction suivante renvoie le rang  \(n\) à partir duquel \(m_n \geqslant S\) .
def seuil(S):
    # On initialise les valeurs de la suite ainsi que de n. Le terme de rang 0 vaut 4.
    m = 4
    n = 0
    # On souhaite savoir quand les termes de la suites dépasseront  \(S\) .
    # On va donc continuer de calculer les termes de cette suite tant que les termes sont inférieurs   à \(S\) .
    while m < S:
        m = 2 * m + 3
        n = n + 1
    # Une fois que cette boucle est terminée (si elle termine...), on sait que u_n est supérieur ou égal à S.
    # On renvoie donc le rang n correspondant.
    return n

Testons cette fonction pour un seuil de 1 000 000 :
seuil(1000000)
>>> 18

Cela signifie que, à partir du rang 18, tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à 1 000 000. 

Exercice

On considère la suite \((b_n)\) définie par  \(b_0=2\) pour tout entier naturel  \(n\) , par \(b_{n+1}=1,02b_n+1\) . On admet que la suite  \((b_n)\) est croissante et que  \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b_n = +\infty\) .

1. Écrire une fonction seuil2 prenant un réel a en paramètre et renvoyant le rang  \(n\) à partir duquel \(b_n\geqslant a\) . 

2. Appeler la fonction pour a égal à  \(10^{15}\) .